Question

如圖所示：圖1是定義在R上的二次函數f（x）的部分圖象，圖2是函數g（x）＝log_a（x＋b）的部分圖象．

⑴分別求出函數f（x）和g（x）的解析式；

⑵如果函數y＝g（f（x））在區間[1，m）上單調遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

解：⑴由題圖1得，二次函數f（x）的頂點坐標為（1,2），

故可設函數f（x）＝a（x－1）²＋2，

又函數f（x）的圖象過點（0,0），

故a＝－2，整理得f（x）＝－2x²＋4x．                                （3分）

由題圖2得，函數g（x）＝log_a（x＋b）的圖象過點（0,0）和（1,1），

故有∴

∴g（x）＝log₂（x＋1）（x>－1）．          （6分）

⑵由⑴得y＝g（f（x））＝log₂（－2x²＋4x＋1）是由y＝log₂t和t＝－2x²＋4x＋1復合而成的函數，而y＝log₂t在定義域上單調遞增，要使函數y＝g（f（x））在區間[1，m）上單調遞減，必須t＝－2x²＋4x＋1在區間[1，m）上單調遞減，且有t>0恒成立                                                                                                                            （9分）

由t＝0得x＝，又t的圖象的對稱軸為x＝1．

所以滿足條件的m的取值范圍為1<m<．      （12分）