Question

函數(shù)f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數(shù)，a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數(shù)，a＞0）．
∴f′（x）=

ax-1

ax2

　（x＞0）．
由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，∵f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0，
當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，∵x∈[1，

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（

1

a

，2]時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=-lna+1-

1

a

．
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為 ①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）_min=ln2-

1

2a

；②當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）_min=-lna+1-

1

a

．③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）_min=0．