Question

19、已知函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減．
（1）求a的值；
（2）記g（x）=bx²-1，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3個元素，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減，知道x=1是f（x）的極值點，求導，令
f′（1）=0，可得a的值；（2）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，轉化為一元二次方程根的問題，求得b的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=4x³-12x²+2ax，因為f（x）在[0，1]上遞增，在[1，2]上遞減，所以x=1是f（x）的極值點，
所以f′（1）=0，
即4×1³-12×1²+2a×1=0．
解得a=4，經檢驗滿足題意，所以a=4．
（2）由f（x）=g（x）可得
x²（x²-4x+4-b）=0，
由題意知此方程有三個不相等的實數根，
此時x=0為方程的一實數根，則方程x²-4x+4-b=0應有兩個不相等的非零實根，
所以△＞0，且4-b≠0，
即（-4）²-4（4-b）＞0且b≠4，
解得b＞0且b≠4，
所以所求b的取值范圍是（0，4）∪（4，+∞）．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和極值，以及一元二次方程根的存在性的判定，體現了數形結合的思想方法，屬中檔題．