Question

已知動點到的距離比它到軸的距離多一個單位．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點作曲線的切線，求切線的方程，并求出與曲線及軸所圍成圖形的面積．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）切線的方程為：，所求的圖形的面積為

解析試題分析：（Ⅰ）設動點M的坐標為，
依題意得：動點M到點的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義知：M的軌跡C是以為焦點，直線為準線的拋物線，
其方程為：．　                                                           　……6分
（Ⅱ）∵曲線C的方程可寫成：，
注意到點在曲線C上，過點N的切線斜率為，
故所求的切線的方程為：即．                                   ……9分
由定積分的幾何意義，所求的圖形的面積
．                                    ……13分
考點：本小題注意考查拋物線標準方程的求解，導數的運算，切線的求解和定積分的計算.
點評：解決軌跡方程問題時，經常先根據定義求出曲線類型再求解，因此圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義尤其重要，要熟練掌握，靈活應用.