Question

一個(gè)袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個(gè)球（拿后放回），記下標(biāo)號(hào)．若拿出球的標(biāo)號(hào)是3的倍數(shù)，則得1分，否則得-1分．
（Ⅰ）求拿4次至少得2分的概率；
（Ⅱ）求拿4次所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）拿4次至少得2分包括2分和4分兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式做出結(jié)果，再把兩部分相加得到結(jié)果．
（II）看出變量的可能的取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，做出變量對(duì)應(yīng)的概率和分布列，再做出變量對(duì)應(yīng)的期望值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)拿出球的號(hào)碼是3的倍數(shù)的為事件A，則P(A)=

1

3

，P(

.

A

)=

2

3

，
由題意可得：拿4次至少得（2分）包括（2分）和（4分）兩種情況．
所以P1=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，P2=(

1

3

)4=

1

81

，
∴P=P1+P2=

1

9

．（6分）
所以拿4次至少得2分的概率為

1

9

．
（Ⅱ）由題意可得：ξ可能取的值為-4，-2，0，2，4，
則P(ξ=-4)=(

2

3

)4=

16

81

；
P(ξ=-2)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

；
P(ξ=0)=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

；
P(ξ=2)=

8

81

；P(ξ=4)=

1

81

；         （9分）
∴離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	-4	-2	0	2	4
p	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

所以Eξ=-4×

16

81

+(-2)×

32

81

+0×

24

81

+2×

8

81

+4×

1

81

=-

4

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式做出概率的值，本題是一個(gè)中檔題目．