Question

（1）已知矩陣A=

a 2 1 b

有一個屬于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=

1 -1 0 1

，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=t-3 y= 3  t

（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關于x的不等式f（x）≥a²-a在R上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①由已知得：

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，可得

2a-2=2 2-b=-1

，求出a，b的值，可得A．
②由條件求出O、M、N變換后的對應點的坐標O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），從而求得△O′M′N′的面積
（2）①把直線的參數方程消去參數化為普通方程，利用極坐標與直角坐標的互化公式，把極坐標方程化為直角坐標方程．
②求出圓心到直線的距離d，即可求得點P到直線l的距離的取值范圍．
（3）解：①原不等式等價于

x≤1 -2x≥3

，或

-1＜x≤1 2≥3

，或

x＞1 2x≥3

，分別求出這三個不等式組的解集，再取并集
即得所求．
②依題意得：關于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a²-a在R上恒成立，再由|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
可得 a²-a≤2，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）解：①由已知得：

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，
∴

2a-2=2 2-b=-1

，解得

a=2 b=3

，故A=

2 2 1 3

．…（3分）
②∵AB=

2 2 1 3

 

1 -1 0 1

=

2 0 1 2

，…（4分）
∴

2 0 1 2

 

0 0

=

0 0

，

2 0 1 2

 

2 -1

=

4 0

，

2 0 1 2

 

0 2

=

0 4

．…（6分）
即點O（0，0），M（2，-1），N（0，2）變成點O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），
∴△O′M′N′的面積為

1

2

×4×4=8．   …（7分）
（2）解：①直l的普通方程為：

3

x-y+3

3

=0．…（2分）
曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-4x+3=0．…（4分）
②曲線C的標準方程為 （x-2）²+y²=1，圓心C（2，0），半徑為1．
∴圓心C到直線l的距離為：d=

|2 3 -0+3 3 |

2

=

5 3

2

．  …（6分）
所以點P到直線l的距離的取值范圍是[

5 3

2

-1，

5 3

2

+1]．    …（7分）
（3）解：①原不等式等價于

x≤1 -2x≥3

，或

-1＜x≤1 2≥3

，或

x＞1 2x≥3

，…（1分）
解得 x≤-

3

2

，或 x∈∅，x≥

3

2

．
∴不等式的解集為{x|x≤-

3

2

，x≥

3

2

 }．…（4分）
②依題意得：關于x的不等式|x-1|+|x+1|≥a²-a在R上恒成立，
∵|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，…（5分）
∴a²-a≤2，解得-1≤a≤2，
∴實數a的取值范圍是[-1，2]．   …（7分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，特征向量的意義，矩陣運算，把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．