Question

【題目】設雙曲線的方程為.

（1）設是經過點的直線，且和有且僅有一個公共點，求的方程；

（2）設是的一條漸近線，、是上相異的兩點.若點是上的一點，關于點的對稱點記為，關于點的對稱點記為.試判斷點是否可能在上，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或或或；（2）點不可能在雙曲線上，理由詳見解析.

【解析】

（1）對所求直線分三種情況討論：①軸，驗證即可；②直線與雙曲線相切，設出直線方程，與雙曲線的方程聯立，由求出直線的斜率，可得出直線的方程；③直線與雙曲線的漸近線平行，可得出直線的方程.綜合可得出所求直線的方程；

（2）假設點在雙曲線上，設直線的方程為，設點、，，求出點、的坐標，再將點的坐標代入雙曲線的方程驗證即可得出結論.

（1）①當直線的斜率不存在時，方程為，顯然與雙曲線相切，只有一個交點，符合題意，

②當直線的斜率存在且與雙曲線相切時，設斜率為，

則直線的方程為，即，

聯立方程，消去得，

直線和雙曲線有且僅有一個公共點，，

化簡得，解得，此時，直線的方程為，即；

③當直線與雙曲線的漸近線平行時，也與雙曲線有且僅有一個公共點，

雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，

所以，直線的方程為或，即或.

綜上所述，直線的方程為或或或；

（2）假設點在雙曲線上，

不妨設直線方程為，設點、、，

關于點的對稱點記為，點，

關于點的對稱點記為，點，

點在雙曲線上，，

，

∴，

又點在雙曲線上，，

上式化為，，，即，

，則，此式顯然不成立，

故假設不成立，所以點不可能在雙曲線上.