Question

（2012•安徽模擬）已知向量

m

=(

3

sinx+cosx，1)，

n

=(cosx，-f(x))，

m

⊥

n

．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）已知A為△ABC的內角，若f(

A

2

)=

1

2

+

3

2

，a=1，b=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）通過向量的垂直，推出f（x）的表達式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡，然后求解函數的單調區間；
（2）通過f(

A

2

)=

1

2

+

3

2

，A為△ABC的內角，求出A，利用正弦定理求出B，三角形的兩角和求出C，通過a=1，b=

2

，求△ABC的面積．

解答：解：（1）因為向量

m

=(

3

sinx+cosx，1)，

n

=(cosx，-f(x))，

m

⊥

n

．
∴f（x）=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（x）的單調增區間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
函數的單調減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）由f(

A

2

)=

1

2

+

3

2

，a=1，b=

2

，所以f(

A

2

)=sin(A+

π

6

)+

1

2

=

1

2

+

3

2

，
∴sin（A+

π

6

）=

3

2

，
∵A是三角形內角，∴A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴A=

π

6

或A=

π

2

，
又a=1，b=

2

，∴A=

π

6

，
由正弦定理可得sinB=

bsinA

a

=

2

2

，⇒B=

π

4

或

3π

4

，
C=π-A-B=

7π

12

或

π

12

所以△ABC的面積為：

1

2

absinC=

2

2

sin

7π

12

=

1+ 3

4

，
或

1

2

absinC=

2

2

sin

π

12

=

3 -1

4

．

點評：本題考查向量的數量積兩角和的正弦函數的應用，正弦定理，正弦函數的單調性，三角形的面積的求法，考查計算能力，轉化思想的應用，分類討論思想的應用．