Question

在一次數學考試中，共有10道選擇題，每題均有四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，評分標準規定：“每道題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”．某考生已確定有6道題是正確的，其余題目中：有兩道題可判斷兩個選項是錯誤的，有一道可判斷一個選項是錯誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，請求出該考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）設該考生所得分數為ξ，求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：設“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選擇對為事件A，“有一道可判斷一個選項是錯誤的”選擇對為事件B，“有一道因不理解題意”選擇對為事件C，再根據題意分別求出其發生的概率．
（Ⅰ）由題意可得：得50（分）即10道題都做對，即可根據題意求出答案．
（Ⅱ）根據題意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，再分別求出其發生的概率，進而求出ξ的數學期望．

解答：解：設“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選擇對為事件A，“有一道可判斷一個選項是錯
誤的”選擇對為事件B，“有一道因不理解題意”選擇對為事件C，則P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

（Ⅰ）由題意可得：得50（分）即10道題都做對，所以其概率為P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

；…（5分）
（Ⅱ）根據題意可得：ξ的可能值是30，35，40，45，50，
所以P(ξ=30)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；…（6分）
P(ξ=35)=

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（8分）
P(ξ=40)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；…（10分）
P(ξ=45)=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

C

1 2

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

7

48

；…（12分）
P(ξ=50)=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

所以ξ的數學期望為：Eξ=30×

1

8

+(35+40)×

17

48

+45×

7

48

+50×

1

48

=

455

12

．…（13分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等可能事件的概率公式與相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的數學期望，此題屬于中檔題，是近幾年高考命題的熱點之一．