Question

【題目】已知命題 ： 表示雙曲線，命題 ： 表示橢圓。

（1）若命題與命題 都為真命題，則 是 的什么條件？

（請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中的哪一個）

（2）若 為假命題，且 為真命題，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 是 的必要不充分條件（2） 或。

【解析】試題分析：(1) 根據雙曲線的定義，若命題為真命題則 ,若 都為真命題則 或，由，可得 是 的必要不充分條件；（2）由 為假命題，且 為真命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數的取值范圍..

試題解析：（1）∵命題 ： 表示雙曲線是真命題，

∴ ，

解得 ,

又∵命題 ： 表示橢圓是真命題，

∴

解得 或

∵

∴ 是 的必要不充分條件,

（2）∵ 為假命題，且 為真命題

∴ 、 為“一真一假”，

當 真 假時，由（1）可知，

為真，有 ，①

為假， 或 或 ②

由①②解得 或

當 假真時，由（1）可知，

為假，有 或 ，③

為真，有 或 ④

由③④解得，無解

綜上，可得實數 的取值范圍為 或.