Question

（2008•崇明縣一模）（理科）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，M為PA的中點，N為BC的中點．
（1）求點B到平面PCD的距離；
（2）求二面角M-ND-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由V_P-BCD=V_B-PCD，計算得h=

4

5

5

．
（2）以點A為坐標原點，分別以

AB

，

AD

，

AP

為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標系．則M（0，0，2），N（2，1，0），D（0，2，0）．平面AND的一個法向量為

n

1=(0，0，2)，用向量法求解．

解答：解：（1）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，
∴V_P-BCD=

1

3

×

1

2

×22×4=

8

3

，
PD=

16+4

=2

5

，PC=

16+4+4

=2

6

，CD=2，
∴S△PCD=

(1+ 6 + 5 )(1+ 5 - 6 ) (1- 5 + 6 )( 5 + 6 -1)

=2

5

，
設點B到平面PCD的距離為h，
∵V_P-BCD=V_B-PCD，
∴

1

3

×2

5

h=

8

3

，
計算得h=

4

5

5

．
（等積式或計算V_p-BCD體積（2分），結果2分）
（2）以點A為坐標原點，分別以

AB

，

AD

，

AP

為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標系．
（1分）
則M（0，0，2），N（2，1，0），D（0，2，0）．
平面AND的一個法向量為

n

1=(0，0，2)，（3分）
設平面MND的法向量為n₂（x，y，z），那么：

MN

=(2，1，-2)，

MD

=(0，2，-2)，
由此得：

2x+y-2z=0 2y-2z=0

，所以平面MND的其中一個法向量為

n2

=(1，2，2)（6分）
計算得：θ=arccos

2

3

．即：二面角M-ND-A的大小為θ=arccos

2

3

．       （8分）

點評：本題考查線面位置關系、點面距的計算、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉化、計算的能力與方程思想．