Question

在平面直角坐標系xOy中，經過點且斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線l與橢圓有兩個不同的交點，即方程組有2個不同解，轉化為判別式大于0．
（2）利用2個向量共線時，坐標之間的關系，由一元二次方程根與系數的關系求兩根之和，解方程求常數k．
解答：解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為，
代入橢圓方程得．
整理得①
直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于，
解得或．即k的取值范圍為．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以與共線等價于，
將②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，
故沒有符合題意的常數k．
點評：（1）把直線l與橢圓有兩個不同的交點，轉化為方程組有2個不同解．
（2）考查2個向量共線的條件．