Question

在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射擊命中的概率都是

2

3

，每次命中與否互相獨立．
（Ⅰ）求恰好射擊5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知每次命中與否互相獨立．且每次射擊命中的概率都是

2

3

，本試驗是一個獨立重復試驗，恰好射擊5次引爆油罐表示前四次有一次射中且第五次一定擊中，根據獨立重復試驗公式得到結果．
（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5．當ξ=2時，表示兩槍都擊中，當ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，當ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，當ξ=5時，表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中，寫出分布列．

解答：解：（Ⅰ）∵每次命中與否互相獨立．且每次射擊命中的概率都是

2

3

，
∴是一個獨立重復試驗，
記“恰好射擊5次引爆油罐”的事件為事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定擊中，
∴P(A)=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3×

2

3

=

16

243

．
（Ⅱ）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5．
當ξ=2時，表示兩槍都擊中，
當ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，
當ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，
當ξ=5時，應該表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中或前四槍中有一槍中且第五槍不中或前四槍不中且第五槍中或五槍都不中四種情況
∴P(ξ=2)=(

2

3

)2=

4

9

；
P(ξ=3)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

；
P(ξ=4)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

；
P(ξ=5)=1-

4

9

-

8

27

-

4

27

=

1

9

．
∴ξ的分布列為
Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．
∴所求ξ的數學期望為

79

27

．

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．