Question

（本小題滿分14分）已知定義在上的函數滿足，且對任意有．
（Ⅰ）判斷在上的奇偶性，并加以證明．
（Ⅱ）令，，求數列的通項公式．
（Ⅲ）設為的前項和，若對恒成立，求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）奇函數。見解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）的最大值為．

(1)先根據x,y取值的任意性，可令得， 然后再令x=0,可得
f(-y)=-f(y),從而可判定f(x)為奇函數.
（II）滿足，則必有
，否則若則必有，依此類推必有，矛盾.據此可否定據此，
從而得到,
然后再根據，可確定是等比數列， 問題到此基本得以解決.
(III)在（2）的基礎上，可知， 從而可采用錯位相減的方法求和.
（Ⅰ）．對任意有…………①
令得；………………………………………………１分
令由①得，
用替換上式中的有………………………………………２分
在上為奇函數．………………………………………………３分
（Ⅱ）．滿足，則必有
否則若則必有，依此類推必有，矛盾
………………………………………………５分

，又
是為首項，為公比的等比數列，…………………………………７分
　　　　　　　　　………………………………………………８分
（Ⅲ）．………………………………………………９分
故……………………………………②
………………………③
②③得
………………………………………………１１分
………………………………………………１２分
若對恒成立須，解得……………………１３分
的最大值為．　　　　　　　………………………………………………１４分