Question

已知兩數列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），滿足且
（I）求證：a_n＞b_n
（II）求證：數列{a_n}的單調遞減且．

Answer 1

證明：（I）先證b_n＞1．∵b_n＞0，b_n≠1，∴=1，又，∴b_n＞1．
再證a_n＞b_n．①；
②假設m=k時命題成立，即a_k＞b_k＞1，
則a_k+1-b_k+1=＞=0．
∴a_k+1＞b_k+1
所以n+k+1時命題也成立．
綜合①②可得a_k＞b_k．
（II）a_n+1-a_n==，
∵b_n＜a_n，∴，a_n＞1，∴a_n+1-a_n＜0．
故數列{a_n}單調遞減．
∵，
∴…＜．
又a₁-1=1，∴，
即．
分析：（I）先證b_n＞1．由b_n＞0，b_n≠1，利用基本不等式的性質即可得到；再利用數學歸納法證明a_n＞b_n即可；
（II）通過作差并利用（I）的結論即可證明單調性，再利用放縮法即可證明．
點評：熟練掌握基本不等式的性質、數學歸納法、作差法、放縮法是解題的關鍵．注意利用已經證明的結論．