Question

一個四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側棱PD的中點.

（1）求證：PB//平面AEC；  

（2）若F為側棱PA上的一點，且， 則為何值時，PA平面BDF？ 并求此時幾何體F—BDC的體積．

Answer 1

(2)

解析:

（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，

錐體高度為1。

設AC，BD和交點為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

OE//PB，                                             3分

EO面EAC，PB面EAC內， PB//面AEC。          6分

（2）過O作OFPA垂足為F , 

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,進而得PF=               

即當時，PA面BDF，                       12分

此時F到平面BDC的距離FH=

 

       14分