Question

（2012•揚州模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點為A，左、右焦點為F₁，F₂，點P是橢圓上一點，

PA

=

3

2

PF1

-

1

2

PF2

，且△PF₁F₂的三邊構成公差為1的等差數列．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若OP=2

7

，求橢圓方程；
（Ⅲ） 若c=1，點P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長軸為直徑的圓只有一個公共點，求點P的坐標﹒

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意：A（-a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），設P（s，t），利用向量的坐標及

PA

=

3

2

PF1

-

1

2

PF2

，即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）不妨設|PF₁|＜|PF₂|，先確定|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，可得

s2+t2=28① (s+c)2+t2=(2c-1)2② (s-c)2+t2=(2c+1)2③

，由此可求橢圓方程；
（Ⅲ）法一：先求出橢圓方程，設△PF₁F₂的外接圓方程，利用F₁（-1，0）和P（s，t）在圓上，可表示圓心坐標與半徑，利用△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長軸為直徑的圓只有一個公共點，即兩圓相切，且是內切，即可求得結論；
法二：先求出橢圓方程，由題△PF₁F₂的外接圓圓心必在y軸上，設其圓心為M（0，m），半徑為r，則利用△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長軸為直徑的圓只有一個公共點，即可求點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）依題意：A（-a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），設P（s，t），
由

PA

=

3

2

PF1

-

1

2

PF2

得：(-a-s，-t)=

3

2

(-c-s，-t)-

1

2

(c-s，-t)
即-a-s=

3

2

(-c-s)-

1

2

(c-s)，∴a=2c，∴e=

c

a

=

1

2

∴橢圓的離心率是

1

2

；
（Ⅱ）不妨設|PF₁|＜|PF₂|，由|F₁F₂|=2c，及△PF₁F₂的三邊構成公差為1的等差數列，再結合a=2c得：|PF₁|=2c-1，|PF₂|=2c+1，所以

s2+t2=28① (s+c)2+t2=(2c-1)2② (s-c)2+t2=(2c+1)2③

，①×2-②-③得：c²=9，所以橢圓方程是

x2

36

+

y2

27

=1．
（Ⅲ）法一：∵c=1，a=2c，∴a=2，∴b²=3，∴橢圓方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
設P（s，t），則

s2

4

+

t2

3

=1，s2=4-

4t2

3

，以橢圓長軸為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為2，
設△PF₁F₂的外接圓方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，
又F₁，F₂關于y軸對稱，故D=0，即圓方程為x²+y²+Ey+F=0，
由F₁（-1，0）和P（s，t）在圓上得：

1+F=0 s2+t2+Et+F=0

，∴

F=-1 E=- s2+t2-1 t = t2-9 3t

則圓心坐標為M(0，-

E

2

)，半徑為r=

E2-4F

2

=

E2+4

2

△PF₁F₂的外接圓與以橢圓長軸為直徑的圓只有一個公共點，即兩圓相切，且是內切，
∴OM=|2-r|

|E|

2

=2-

E2+4

2

或

|E|

2

=

E2+4

2

-2（此方程無解）
解得：|E|=

3

2

，
由

t2-9

3t

=

3

2

得：2t²-9t-18=0，t=-

3

2

（舍去）或t=-6（舍去）
由

t2-9

3t

=-

3

2

得：2t²+9t-18=0，t=

3

2

或t=-6（舍去），所以點P坐標P(1，

3

2

)．
法二：由題△PF₁F₂的外接圓圓心必在y軸上，設其圓心為M（0，m），半徑為r，則

3s2+4t2=12 r2=m2+1=(s-0)2+(t-m)2 |m|=2-r

，由題s，t，m，r＞0，從而解得

r= 5 4 m= 3 4

，

t= 3 2 s=1

所以點P坐標為(1，

3

2

)

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查向量知識的運用，考查圓的方程，屬于中檔題．