Question

已知二次函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，其導函數f′（x）=2x+2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n， Sn) (n∈N*)均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=2n•an，T_n是數列{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知設函數f（x），結合導函數可求函數解析式，進而可得s_n，然后利用當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，a₁=S₁，可求通項
（Ⅱ）由（I）可求b_n，然后利用錯位相減可求數列的和

解答：解：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx，f'（x）=2ax+b=2x+2，…（2分）
∴a=1，b=2，f（x）=x²+2x，
∴Sn=n2+2n…（4分）
∴當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，…（6分）
又a₁=S₁=3，適合上式，
∴a_n=2n+1…（7分）
（Ⅱ）∵bn=(2n+1)•2n，
∴Tn=3•21+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n，…（9分）
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
相減得：-Tn=3•21+2•(22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1…（11分）
=6+2•

4•(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+1．
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2…（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的和與項之間的遞推關系求解數列的通項，及錯位相減法求解數列的和的應用，要求考生熟練掌握基本方法．