Question

（2012•奉賢區二模）平面內一動點P（x，y）到兩定點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離之積等于1．
（1）求動點P（x，y）的軌跡C方程，用y²=f（x）形式表示；
（2）類似高二第二學期教材（12.4橢圓的性質、12.6雙曲線的性質、12.8拋物線的性質）中研究曲線的方法請你研究軌跡C的性質，請直接寫出答案；
（3）求△PF₁F₂周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用動點P（x，y）到兩定點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離之積等于1，建立方程，化簡可得結論；
（2）寫出對稱性、頂點、x、y范圍即可；
（3）表示出△PF₁F₂周長，確定|PF₁|的范圍，即可求△PF₁F₂周長的取值范圍．

解答：解：（1）∵動點P（x，y）到兩定點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離之積等于1
∴|PF₁||PF₂|=1
∴

(x+1)2+y2

×

(x-1)2+y2

=1
化簡得y²=

4x2+1

-x2-1．    
（2）性質：
對稱性：關于原點對稱、關于x軸對稱、關于y軸對稱                           
頂點：（0，0），（±

2

，0）
x的范圍：-

2

≤x≤

2

y的范圍：-

1

2

≤y≤

1

2

；                     
（3）△PF₁F₂周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=|PF₁|+

1

|PF1|

+2
∵|PF₁|=

(x+1)2+y2

=

4x2+1 +2x

（-

2

≤x≤

2

且x≠0）
∴|PF₁|∈(

2

-1，1)∪(1，

2

+1)
∴△PF₁F₂周長的取值范圍為（4，2+2

2

）．

點評：本題考查軌跡方程，考查曲線的性質，考查三角形周長的求解，正確表示三角形的周長是關鍵．