Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，其中底面ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AP=AB=AD=2BC=6，M在棱PA上，滿足AM=2MP．
（Ⅰ）求三棱錐M-BCD的體積；
（Ⅱ）求異面直線PC與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）證明：PC∥面MBD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求得 S_△BCD=S_ABCD-S_△ABD=

AB(BC+AD)

2

-

AB•AD

2

的值，且AM=4，再由VM-BCD=

1

3

S△BCD•MA運算求得結果．
（Ⅱ）取AD中點N，連CN，∠PCN或其補角就是PC與AB所成角．求得PC、CN、PN的值，利用余弦定理求得cos∠PCN=

2

3

，即可得到異面直線PC與AB所成角余弦值．
（Ⅲ）連AC交BD于Q，連MQ，利用平行線的性質可得

AQ

QC

=

AM

MP

，可得MQ∥PC，再根據直線和平面平行的判定定理證得 PC∥面MBD．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，四邊形ABCD為直角梯形，S_△BCD=S_ABCD-S_△ABD=

AB(BC+AD)

2

-

AB•AD

2

=27-18=9，且AM=4，
故VM-BCD=

1

3

S△BCD•MA=12．------（5分）
（Ⅱ）取AD中點N，連CN，PN，易知AB∥CN，∴∠PCN或其補角就是PC與AB所成角．------（7分）
在△PCN中，∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，PC=9，
又∵CN=AB=6，PN=3

5

，∴cos∠PCN=

2

3

，
∴異面直線PC與AB所成角余弦值為

2

3

．--------（10分）
（Ⅲ）連AC交BD于Q，連MQ，∵AD∥BC，∴

AQ

QC

=

AD

BC

=2．
又∵

AM

MP

=2，則

AQ

QC

=

AM

MP

，∴MQ∥PC．----------（13分）
又∵PC?面MBD，MQ?面MBD，
∴PC∥面MBD．----------（15分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求棱錐的體積，用間接解法求三角形的面積，異面直線所成的角的定義和求法，屬于中檔題．