Question

已知，函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：對于任意的，都有.

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，先對求導，利用單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，通過解不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第二問，由于對于任意的，都有 對于任意的，都有，利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合求出的最小值和的最大值，進行比較，看是否符合.
（1）函數(shù)的定義域為,，
因為，
所以，當，或時，；
當時，．
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,．        6分
（2）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，
所以，當時，．
由，可得．
所以當時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，當時，．
所以，當時，
對于任意的，都有，，所以．
當時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，當時，．
所以，當時，
對于任意的，都有，，所以．
綜上，對于任意的，都有．      13分