Question

在中學階段，對許多特定集合（如實數集、復數集以及平面向量集等）的學習常常是以定義運算（如四則運算）和研究運算律為主要內容．現設集合A由全體二元有序實數組組成，在A上定義一個運算，記為⊙，對于A中的任意兩個元素α=（a，b），β=（c，d），規定：α⊙β=(

.

a -c b d

.

，

.

d a c b

.

)．
（1）計算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）請用數學符號語言表述運算⊙滿足交換律和結合律，并任選其一證明；
（3）A中是否存在唯一確定的元素I滿足：對于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，請求出元素I；若不存在，請說明理由；
（4）試延續對集合A的研究，請在A上拓展性地提出一個真命題，并說明命題為真的理由．

Answer 1

（1）（2，3）⊙（-1，4）=（5，14）
（2）設A中的任意三個元素α=（a，b），β=（c，d），γ=（e，f）
交換律：α⊙β=（ad+bc，bd-ac）=β⊙α結合律：（α⊙β）⊙γ=（adf+bcf+bde-ace，bdf-acf-ade-bce）=α⊙（β⊙γ）
（3）假設存在I=（x，y），α=（a，b），則I⊙α=α，
即（x，y）⊙（a，b）=（a，b）?(

.

x -a y b

.

，

.

b x a y

.

)=（a，b），
①若α=（0，0），顯然有I⊙α=α成立；
②若α≠（0，0），則
所以

bx+ay=a -ax+by=b.

解得x=0，y=1．
所以，存在I=（0，1）滿足：對于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立．
（4）①舉例計算，如計算（1，-1）⊙（0，-1）等不給分．
②計算α⊙α=（2ab，b²-a²）、α⊙（-α）=（-2ab，a²-b²）、（a，b）⊙（1，0）=（b，-a）、（a，b）⊙（0，0）=（0，0）等．
③定義“加法”⊕：（a，b）?（c，d）=（a+c，b+d），
并解釋合理性（驗證α⊕α=（0，2）⊙α）．
④證明消去律成立：（a，b）⊙（c，d）=（a，b）⊙（e，f）?（c，d）=（e，f）．
⑤方程α⊙x=e當α≠（0，0）時有解，并求出解x=(

-a

a2+b2

，

b

a2+b2

)．
⑥方程α⊙x=β當α≠（0，0）時有解，并求出解x=(

ad-bc

a2+b2

，

-ac-bd

a2+b2

)．
⑦定義“逆運算※”，對于A中的任意兩個元素α=（a，b）≠（0，0），β=（c，d），
規定：β※α=(

ad-bc

a2+b2

，

-ac-bd

a2+b2

)解釋合理性（如6）