Question

已知銳角△ABC三個內角分別為A，B，C向量

p

=(2-2sinA，cosA+sinA)與向量

q

=(sinA-cosA，1+sinA)是共線向量．
（1）求∠A的值；
（2）求函數y=2sin²B+cos

C-3B

2

的值域．

Answer 1

分析：（1）利用條件及兩個向量共線的性質，求得sin²A=

3

4

，可得sinA=

3

2

，從而求得銳角A的值．
（2）利用三角函數的恒等變換化簡函數y的解析式為sin（2B-

π

6

）+1，再由B∈（0，

π

2

），B+A＞

π

2

，求得

π

6

＜B＜

π

2

，再根據正弦函數的定義域和值域求得y的值域．

解答：解：（1）∵銳角△ABC中，向量

p

=(2-2sinA，cosA+sinA)與向量

q

=(sinA-cosA，1+sinA)是共線向量，
∴（2-2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（sinA-cosA）．
解得sin²A=

3

4

，∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵函數y=2sin²B+cos

C-3B

2

=2sin²B+cos

2π 3 -B-2B

2

=1-cos2B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin（2B-

π

6

）+1，
∵B∈（0，

π

2

），B+A＞

π

2

，∴

π

6

＜B＜

π

2

，∴2B-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴y∈（

3

2

，2]．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．