Question

已知長軸在x軸上的橢圓的離心率e=，且過點P（1，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點A（x，y）為圓x²+y²=1上任一點，過點A作圓的切線交橢圓于B，C兩點，求證：CO⊥OB（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程，根據e=，可得a²=3b²，利用橢圓過點P（1，1），可得，從而可求橢圓的方程；
（2）由題意可求得切線方程為xx+yy=1．①若y=0，則切線為x=1（或x=-1），求得B、C的坐標，從而可得CO⊥OB；②當y≠0時，切線方程為xx+yy=1，與橢圓聯立并化簡，利用韋達定理，證明x₁x₂+y₁y₂=0即可．
解答：（1）解：由題意，設橢圓方程為
∵e=，∴，∴a²=3b²
∵橢圓過點P（1，1），∴
∴a²=4，
∴橢圓的方程為；
（2）證明：由題意可求得切線方程為xx+yy=1
①若y=0，則切線為x=1（或x=-1），則B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（當x=-1時同理可得）；
②當y≠0時，切線方程為xx+yy=1，與橢圓聯立并化簡得
∴x₁+x₂=，
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=
==0
∴CO⊥OB
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的切線方程，考查直線與橢圓的位置關系，聯立方程，利用韋達定理是解題的關鍵．