Question

已知函數圖象上一點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若方程在內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數的底數）；（3）令，若的圖象與軸交于（其中），的中點為，求證：在處的導數

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）屬于簡單題，利用函數在的導數值為斜率求解；（2）轉化為函數與軸有2個交點，進來轉化為求函數的最大值與最小值問題，利用導數判函數的單調性滿足即可；（3）利用反證法求解，假設成立，由條件滿足，利用第1、2個條件求解值，結合第4個條件得到，再利用函數的單調性充分證明假設錯誤，進而得證在處的導數.

試題解析：（1）

且

解得                              3分

（2），令

則

令，得舍去).

當時，

是增函數；

當時，

是減函數；                              5分

于是方程在內有兩個不等實根的充要條件是：.

即                              9分

（3）由題意

假設結論成立，則有：

                           11分

①-②，得

由④得

即，即⑤                  13分

令

則

在（0，1）增函數，

⑤式不成立，與假設矛盾.

                               14分

考點：1.利用導數判函數的單調性；2.函數的最值求解；3.反證法思想.