Question

已知函數f（x）對任意的實數x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：函數f（x）在R上是增函數；
（2）若關于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集為{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的條件下，設a_n=|f（n）-14|（n∈N^*），若數列{a_n}從第k項開始的連續20項之和等于102，求k的值．

Answer 1

分析：（1）欲證明函數f（x）在R上是增函數，設x₁＞x₂證明f（x₁＞f（x₂），即可．
（2）先將不等式f（x²-ax+5a）＜2轉化為f(x_-ax+5a)＜f(b)，利用函數的單調性脫掉“f”，轉化成整式不等式，再結合方程根的定義求解出a，b，最后利用等差數列求出f（2009）的值即可；
（3）設從第k項開始的連續20項之和為T_k，則T_k=a_k+a_k+1++a_k+19．下面對k進行分類討論，列出關于k的方程，解之即得k值．

解答：（1）證明：設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，從而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．（2分）
f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），
故f（x）在R上是增函數．（4分）
（2）設2=f（b），于是不等式為f(x_-ax+5a)＜f(b)．
則x_-ax+5a＜b，即x_-ax+5a-b＜0．（6分）
∵不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集為{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-b=0的兩根為-3和2，
于是

-3+2=a -3×2=5a-b

，解得

a=-1 b=1

∴f（1）=2．（8分）
在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1．
所以{f（n）}是首項為2，公差為1的等差數列．
f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．（10分）
（3）a_k=|f（k）-14|=|（k+1）-14|=|k-13|．
設從第k項開始的連續20項之和為T_k，則T_k=a_k+a_k+1+…+a_k+19．
當k≥13時，a_k=|k-13|=k-13，T_k≥T₁₃=0+1+2+3+…+19=190＞102．（11分）
當k＜13時，a_k=|k-13|=13-k．
T_k=（13-k）+（12一k）+…+1+0+1+…+（k+6）=k²一7k+112．
令k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．（14分）
（注：當k≥13時，a_k=|k一13|=k一13，令Tk=20(k-13)+

20×19

2

×1=102，無正整數解．得11分）

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．