Question

設集合S_n={1，2，3，，n），若X是S_n的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數，則稱X為S_n的奇（偶）子集．
（I）寫出S₄的所有奇子集；
（Ⅱ）求證：S_n的奇子集與偶子集個數相等；
（Ⅲ）求證：當n≥3時，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

（I）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（I）根據奇子集的定義可直接得出，注意應按規律一一列出以防重寫或漏寫。（Ⅱ）取S_n的任意一個奇子集可能含有1也可能不含1，當奇子集含有1時，令，當奇子集不含1時，令，則為的偶子集，且與相對應，反之也成立。因為與相對應即S_n的奇子集與偶子集個數相等。（Ⅲ）由（Ⅱ）知S_n的奇子集與偶子集個數相等，且S_n中每一個元素在奇子集與偶子集中出現的次數是相同的，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
試題解析：（I）
（Ⅱ）對于S_n的每個奇子集，
當時，取；當時，取。
則為的偶子集。
反之，若為的偶子集，
當時，取；當時，取。
則為的奇子集。
的奇子集與偶子集之間建立了一一對應的關系，所以的奇子集和偶子集的個數相等。
（Ⅲ）對于任意，
當時，含的的子集共有個。由（Ⅱ）可知，對每個數，在奇子集與偶子集中，所占的個數是相等的；
當時，將（Ⅱ）中的1換成3即可。
可知在奇子集與偶子集中占的個數是相等。
綜合（1）（2），每個元素都是在奇子集與偶子集中占的個數相等。
所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。