Question

已知不等式（ax-1）（x+1）＜0 （a∈R）．
（1）若x=a時不等式成立，求a的取值范圍；
（2）當a≠0時，解這個關于x的不等式．

Answer 1

分析：（1）若x=a時不等式成立，不等式轉化為關于a的不等式，直接求a的取值范圍；
（2）當a≠0時，當a＞0、-1＜a＜0、a＜-1三種情況下，比較

1

a

，-1的大小關系即可解這個關于x的不等式．

解答：解：（1）由x=a時不等式成立，即（a²-1）（a+1）＜0，所以（a+1）²（a-1）＜0，
所以a＜1且a≠-1．所以a的取值范圍為（-∞，-1）∪（-1，1）．（6分）
（2）當a＞0時，

1

a

＞-1，所以不等式的解：-1＜x＜

1

a

；
當-1＜a＜0時，

1

a

＜-1，所以不等式（ax-1）（x+1）＜0的解：

1

a

＜x或x＜-1；
當a＜-1時，

1

a

＞-1，所以不等式的解：x＜-1或x＞

1

a

．
當a=-1時，不等式的解：x＜-1或x＞-1
綜上：當a＞0時，所以不等式的解：-1＜x＜

1

a

；
當-1＜a＜0時，所以不等式的解：

1

a

＜x或x＞-1；
當a≤-1時，所以不等式的解：x＜-1或x＞

1

a

．（15分）

點評：本題考查一元二次不等式的解法，考查轉化思想，分類討論思想，是中檔題．