Question

【題目】已知為函數的導函數.

（1）分別判斷與的奇偶性；

（2）若，求的零點個數；

（3）若對任意的，恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）為偶函數，為奇函數 ；（2）三個；（3）.

【解析】

（1）根據奇偶函數的定義對的奇偶性進行判斷.（2）根據（1）求得的的奇偶性可知，只需先研究時的零點．利用的導數，研究的單調性，由此判斷出在時，存在唯一解，根據函數為奇函數，得到的零點個數為個.（3）由（1）知為偶函數，要使，恒成立，只需研究時.對分成，利用函數的一階導數，和二階導數研究的單調性，由此求得的取值范圍.

（1），

為偶函數；，

且所以為奇函數 ；

（2）由（1）知只需先研究時的零點．

記的導數為

，

令

，，

設方程兩根為，

又，，，

或或

又，在減，在增 ，

，且，

在時，存在唯一解，在R上有三個零點；

（3），為偶函數，要使，恒成立，只需研究時.

①時，，在增，，在增，；

②時，令由（1）知，在減，在恒成立，存在，使得，所以不滿足題意,

綜上所述，.