Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點(diǎn)A，且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B.
①求證：；
②當(dāng)R為何值時(shí)，取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

(1)；（2）①證明見解析；②時(shí)，取得最大值為1．

解析試題分析：(1)橢圓的離心率為，又橢圓過已知點(diǎn)，即，再加上，聯(lián)立可求得；（2）直線與圓及橢圓都相切，因此可以把直線方程與橢圓方程(或圓方程)聯(lián)立方程組，此方程組只有一解，由此可得到題中參數(shù)的關(guān)系式，當(dāng)然直線與圓相切，可利用圓心到直線的距離等于圓的半徑來列式，得到的兩個(gè)等式中消去參數(shù)即可證得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，這里設(shè)，由①中的方程(組)可求得，最終把用表示，，利用不等式知識(shí)就可求得最大值.
試題解析：(1)橢圓E的方程為      4分
（2）①因?yàn)橹本�與圓C:相切于A,得,
即①        5分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/aa/c/hm5rs3.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B_，
由得,且此方程有唯一解.
則即
②由①②,得             8分
②設(shè)，由得
由韋達(dá)定理,
∵點(diǎn)在橢圓上,∴
∴                 10分
在直角三角形OAB中,

∴            12分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切，直線與橢圓相切.