Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則x₀稱為f（x）的不動點，f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）．
（1）已知函數有兩個不動點為3，-1，求函數的零點．
（2）若對任意實數b，函數恒有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）有兩個不動點為3，-1，利用不動點的新定義可得

3=9a+3(b+1)+(b-1) -1=a-(b+1)+(b-1)

，解出即可得到a，b；再利用一元二次方程的解法即可得出；
（2）對任意實數b，函數恒有兩個相異的不動點?ax²+（b+1）x+（b-1）=x有兩個不相等的實數根?a≠0，△=b²-4a（b-1）＞0對于任意實數恒成立，?△₁=（-4a）²-16a＜0恒成立，解出即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）有兩個不動點為3，-1，
∴

3=9a+3(b+1)+(b-1) -1=a-(b+1)+(b-1)

，解得

a=1 b=-2

．
∴f（x）=x²-x-3．
令x²-x-3=0，解得x=

1± 13

2

．
∴函數f（x）的兩個零點分別為

1± 13

2

．
（2）∵對任意實數b，函數恒有兩個相異的不動點，
∴ax²+（b+1）x+（b-1）=x即ax²+bx+（b-1）=0有兩個不相等的實數根，
∴a≠0，△=b²-4a（b-1）＞0恒成立，即b²-4ab+4a＞0對于任意實數恒成立，
∴△₁=（-4a）²-16a＜0恒成立，化為a（a-1）＜0，解得0＜a＜1．
∴實數a的取值范圍是（0，1）．

點評：本題綜合考查了恒成立問題的等價轉化、新定義的理解和應用、一元二次方程的求根公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．