Question

平面直角坐標系xoy中，y軸上有一點A（0，1），在x軸上任取一點P，過點P作P A的垂線l．
（1）若l過點Q（3，2），求點P應取在何處；
（2）直線l能否過點R（3，3），并說明理由；
（3）點P在x軸上移動時，試確定直線l移動的區域（即直線l可以經過的點的集合），并在給定的坐標系中用陰影部分表示出來．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，利用P A的垂線l的關系，求出P 的坐標；
（2）直線l能否過點R（3，3），只需驗證P A的垂線l是否成立，就是斜率之積等于-1，方程有解就通過；
（3）點P在x軸上移動時，設直線l經過B（x，y），P（a，0），利用方程有解，推出直線l可以經過的點的集合，在坐標系中用陰影部分表示出來，即可．

解答：解：（1）設P（a，0），由題意知AP⊥l，∴

0-1

a-0

×

0-2

a-3

=-1，∴a=1，或 a=2，
∴P （1，0） 或P（2，0）．
（2）假設直線l能否過點R（3，3），由題意知AP⊥l，∴

0-1

a-0

•

0-3

a-3

=-1，
a²-3a+3=0，判別式△=9-12＜0，故方程a²-3a+3=0 無解，故直線l不能過點R（3，3）．

（3）可設直線l經過B（x，y），P（a，0），
所以PB的方程為：y=ax-a²，即：a²-ax+y=0方程有解，所以x²-4y≥0，
即：y≤

x2

4

，就是直線l可以經過的點的集合在拋物線x²=4y上以及下部部分，如圖：

點評：本題是中檔題，考查直線過定點的問題，直線的垂直的應用，考查方程思想，繪圖能力，計算能力．