Question

已知函數，點、在函數的圖象上，

點在函數的圖象上，設．

（1）求數列的通項公式；

（2）記，求數列的前項和為；

（3）已知，記數列的前項和為，數列的前項和為，試比較與的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）；

（3）當時,；

當時，;

當時，.

【解析】

試題分析：（1）把點點、代入中，點代入函數中，可得，然后利用疊加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂項法求數列的前項和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出

，即，所以最后分類討論比較與的大小即可.

試題解析：（1）由題有： 

3分

（2），

                                                 8分

（3），，

由知

， 而，所以可得．

于是

．

當時 ；

當時，

當時，

下面證明：當時，

證法一：（利用組合恒等式放縮）

當時，

 

∴當時，   13分

證法二：（數學歸納法）證明略

證法三：（函數法）∵時，

構造函數，

∴當時，

∴在區間是減函數，

∴當時，

∴在區間是減函數，

∴當時，

從而時，，即∴當時，

考點：1.點與曲線的位置關系；2.數列的通項公式和前n項和；3.不等式的證明.