Question

已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

，x∈R
（I）化簡函數(shù)f（x）的解析式，并求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，若f(A)=1，

AB

•

AC

=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）將函數(shù)f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由第一問確定的f（x）解析式，及f（A）=1，由A為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而確定出sinA與cosA的值，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡

AB

•

AC

=

2

，求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（I）f（x）=sin2x+

3

（cos2x+1）-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∵ω=2，∴T=π；
（Ⅱ）由第一問確定的函數(shù)解析式及f（A）=1，得到2sin（2A+

π

3

）=1，
∴sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵A為銳角，∴A=

π

4

，
∵

AB

•

AC

=

2

，
∴bccosA=

2

，即bc=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

2

．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．