Question

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在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的兩邊求導，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求導法則，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化簡得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=

n

k=2

k

C

k n

xk-1．
（2）對于正整數n≥3，求證：
（i）

n

k=1

(-1)kk

C

k n

=0；
（ii）

n

k=1

(-1)kk2

C

k n

=0；
（iii）

n

k=1

1

k+1

C

k n

=

2n+1-1

n+1

．

Answer 1

分析：（1）對二項式定理的展開式兩邊求導數，移項得到恒等式．
（2）（i）對（1）中的x 賦值-1，整理得到恒等式．
（ii）對二項式的定理的兩邊對x求導數，再對得到的等式對x兩邊求導數，給x賦值-1化簡即得證．
（iii）對二項式定理的兩邊求定積分；利用微積分基本定理求出兩邊的值，得到要證的等式．

解答：證明：（1）在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ兩邊對x求導得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1
移項得n[(1+x)n-1-1]=

n

k=2

k

C

k n

xk-1（*）
（2）（i）在（*）式中，令x=-1，整理得

n

k=1

(-1)k-1k

C

k n

=0
所以

n

k=1

(-1)kk

C

k n

=0
（ii）由（1）知n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，n≥3
兩邊對x求導，得n（n-1）（1+x）^n-2=2C_n²+3•2C_n³x+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2
在上式中，令x=-1，得0=2C_n²+3•2C_n³（-1）+…+n（n-1）C_n²（-1）^n-2
即

n

k=2

k(k-1)

C

k n

(-1)k-2=0，
亦即

n

k=2

(-1)k(k2-k)

C

k n

=0（1）
又由（i）知

n

k=1

(-1)kk

C

k n

=0（2）
由（1）+（2）得

n

k=1

(-1)kk2

C

k n

=0
（iii）將等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ兩邊在[0，1]上對x積分

∫

1 0

(1+x)ndx=

∫

1 0

(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)dx
由微積分基本定理，得

1

n+1

(1+x)n+1|

1 0

=(

n

k=0

1

k+1

C

k n

xk+1)|

1 0

所以

n

k=0

1

k+1

C

k n

=

2n+1-1

n+1

點評：本題考查導數的運算法則、考查通過賦值求系數和問題、考查微積分基本定理．