Question

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)，點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）

（2）直線MN的方程為，因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

解：（1）由橢圓C的離心率得，其中，
橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上
解得
   4分
（2）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為 由
消去設(shè)
則                 且   8分
由已知，                 得
化簡，得     10分
整理得
 直線MN的方程為，  因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）