Question

已知函數，；
(Ⅰ)若函數在[1,2]上是減函數，求實數的取值范圍；
(Ⅱ)令，是否存在實數，當 (是自然對數的底數)時，函數的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）根據原函數的單調性轉化為導數來求；（Ⅱ）利用導數分析單調性，進而求最值.
試題解析：（Ⅰ）若函數在[1,2]上是減函數，
則在[1,2]上恒成立
令h(x)＝2x²＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立
∴得，∴a≤            6分
（Ⅱ）假設存在實數a，使g(x)＝f(x)－x²，x∈(0，e]有最小值3
g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ 
①當a≤0時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調遞減
∴g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)
②當0<<e即a>時，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0
∴g(x)在(0，]上單調遞減，在(，e]上單調遞增
∴g(x)_min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e²滿足條件
③當≥e即0<a≤時，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調遞減
g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3
∴a＝> (舍去)
綜上所述，存在a＝e²使得當x∈(0，e]時，g(x)有最小值3     .15分