Question

在平面直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x-

3

y=4相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）圓O與x軸相交于A，B兩點，圓O內的動點P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數列，求

PA

•

PB

的取值范圍；
（Ⅲ）已知D，E，F是圓O上任意三點，動點M滿足

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，λ=R，問點M的軌跡是否一定經過△DEF的重心（重心為三角形三條中線的交點），并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用圓心到直線的距離求圓的半徑，可得圓的標準方程；
（II）根據圓的方程求出A、B的坐標，利用|PA|，|PO|，|PB|成等比數列可得P點的坐標滿足的條件，結合P是圓內的點，求出

PA

•

PB

的取值范圍；
（III）根據動點M滿足

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，設DE的中點為N，利用向量運算可得

FM

=2λ

FN

，說明點M的軌跡是△DEF的中線FN所在的直線，即軌跡一定經過△DEF的重心．

解答：解：（Ⅰ）依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線x-

3

y=4的距離，
即r=

4

1+3

=2，∴圓O的方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）不妨設A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，令y=0得x²=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
設P（x，y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，即：

(x+2)2+y2

×

(x-2)2+y2

=x2+y2，
化簡得：x²-y²=2，

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²，
∵x²-y²=2
∴

PA

•

PB

=2y²-2，
由于點P在圓O內，故

x2+y2＜4 x2-y2=2

，由此得y²＜1．
∴-2≤

PA

•

PB

=2y²-2＜0，
∴

PA

•

PB

的取值范圍是[-2，0）；
（Ⅲ）設DE的中點為N，則

OD

•

OE

=2

ON

，
∴

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，λ∈R，

OM

=2λ（

ON

-

OF

）+

OF

∴

OM

-

OF

=2λ（

ON

-

OF

），
∴

FM

=2λ

FN

，
∴F，N，M三點共線，
即點M的軌跡是△DEF的中線FN所在的直線，
故點M的軌跡一定經過△DEF的重心．

點評：本題考查了圓的標準方程，直線與圓的位置關系，考查了向量的數乘運算與數量積運算，考查了向量在幾何中的應用，體現了數形結合思想．