Question

已知點A(

3

， 0)和圓C：(x+

3

)2+y2=16，點M在圓C上運動，點P在半徑CM上，且|PM|=|PA|．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求動點P到定點B（-1，0）的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得到點P到A、C兩點的距離之和等于圓C的半徑CM長，由此可得P的軌跡是以C、A為焦點的橢圓．結合題中數據算出橢圓的基本量，即可得到動點P的軌跡方程；
（2）設P的坐標為（x，y），由兩點的距離公式得|PB|=

(x+1)2+y2

，再利用橢圓方程消去y得關于x的函數，再結合二次函數的單調性可得動點P到定點B的距離的最小值．

解答：解：（1）圓C：(x+

3

)2+y2=16的圓心為（-

3

，0），半徑R=4
∵點M在圓C上運動，點P在半徑CM上，且|PM|=|PA|
∴|PC|+|PA|=|PC|+|PM|=|CM|=4------------------------2分
可得點P的軌跡是以C、A為焦點的橢圓，2a=4且2c=2

3

∴a=2，c=

3

，b=1------------------------------4分
橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1，即為所求動點P的軌跡方程；------6分
（2）設P的坐標為（x，y），則
|PB|=

(x+1)2+y2

，
根據橢圓方程，得y2=1-

x2

4

-------7分
代入上式，可得|PB|=

(x+1)2+(1- x2 4 )

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

-------------9分
∵-2≤x≤2------------------10分
∴當且僅當x=-

4

3

時，|PB|min=

2 3

=

6

3

即動點P到定點B（-1，0）的距離的最小值為

6

3

----------------------------12分．

點評：本題在圓中給出動點P滿足的條件，求動點P的軌跡方程，并依此求距離的最大值．著重考查了橢圓的定義與標準方程、兩點的距離公式和動點軌跡求法等知識，屬于中檔題．