Question

（本小題滿分12分）如圖所示，已知中，AB=2OB=4，D為AB的中點，若是繞直線AO旋轉而成的，記二面角B—AO—C的大小為（I）若，求證：平面平面AOB；（II）若時，求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：（I）如圖所示，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，

       OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz，

  

 

則A（0，0，2），B（0，2，0），D（0，1，），C（2sinθ，2cosθ，0）．

       設＝（x，y，z）為平面COD的一個法向量，

由，得，……3分

       取z＝sinθ，則＝（cosθ，－sinθ，sinθ）＝（0，－，1）

       因為平面AOB的一個法向量為＝（1，0，0），得·＝0，

       因此平面COD⊥平面AOB．            ……6分

       （II）設二面角C－OD－B的大小為α，由（1）得

       當θ＝時，cosα＝0；當θ∈（，］時，tanθ≤－，

       cosα＝＝＝－，……10分

 

 

故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值為－，

綜上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．            ……12分

       解法二：（I）因為AO⊥OB，二面角B－AO－C為，           ……3分

       所以OB⊥OC，又OC⊥OA，所以OC⊥平面AOB                                                      

       所以平面AOB⊥平面CO                         D．                          ……6分

       （II）當θ＝時，二面角C－OD－B的余弦值為0；……7分

當θ∈（，］時，過B作OD的垂線，垂足為E，

過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結CG，

則∠CGF的補角為二面角C－OD－B的平面角．

在Rt△OCF中，CF＝2sinθ，OF＝－2cosθ，

在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cosθ，CG＝，

所以cos∠CGF＝＝－．因為θ∈（，］，tanθ≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．                          ……12分

 

 

【解析】略