Question

已知直線l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；

(2)若直線l關于x軸對稱的直線為l′，問直線l′與拋物線C：x2＝4y是否相切？說明理由．

 

Answer 1

（1）(x－2)2＋y2＝8.（2）當m＝1時，直線l′與拋物線C相切．

當m≠1時，直線l′與拋物線C不相切

【解析】法一：(1)依題意，點P的坐標為(0，m)．

因為MP⊥l，

所以×1＝－1，

解得m＝2，即點P的坐標為(0,2)．

從而圓的半徑r＝|MP|＝＝2.?

故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.

(2)因為直線l的方程為y＝x＋m，

所以直線l′的方程為y＝－x－m.

由得x2＋4x＋4m＝0.

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．

①當m＝1，即Δ＝0時，直線l′與拋物線C相切；

②當m≠1，即Δ≠0時，直線l′與拋物線C不相切．

綜上，

．

法二(1)設所求圓的半徑為r，

則圓的方程可設為(x－2)2＋y2＝r2.

依題意，所求圓與直線l：x－y＋m＝0相切于點P(0，m)，

則解得

所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.

(2)同法一．