Question

P(x₀,y₀)(x₀≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左,右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率.
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足=λ+,求λ的值.

Answer 1

(1)    (2) λ=0或λ=-4

【思路點(diǎn)撥】(1)代入P點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率之積為列方程求解.
(2)聯(lián)立方程,設(shè)出A,B,的坐標(biāo),代入=λ+求解.
解：(1)由點(diǎn)P(x₀,y₀)(x₀≠±a)在雙曲線-=1上,有-=1.
由題意又有·=,
可得a²=5b²,c²=a²+b²=6b²,則e==.
(2)聯(lián)立方程得
得4x²-10cx+35b²=0,
設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則
設(shè)=(x₃,y₃),=λ+,
即
又C為雙曲線E上一點(diǎn),即-5=5b²,
有(λx₁+x₂)²-5(λy₁+y₂)²=5b²,
化簡得:λ²(-5)+(-5)+2λ(x₁x₂-5y₁y₂)=5b²,
又A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在雙曲線E上,
所以-5=5b²,-5=5b².
又x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5(x₁-c)(x₂-c)
=-4x₁x₂+5c(x₁+x₂)-5c²=10b²,
得:λ²+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.