Question

設f（x）=x³+ax²+bx+1的導函數f′（x）滿足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常數a，b∈R，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為

6x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：根據已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我們根據求函數導函數的公式，易求出導數f'（x），結合f'（1）=2a，f'（2）=-b，計算出參數a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

解答：解：（I）因為f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f'（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

．…..（6分）
所以f（x）=x³-

3

2

x²-3x+1，f（1）=-

5

2

．…..（8分）
又因為f′（1）=2×（-

3

2

）=-3，…．（10分）
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（-

5

2

）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．…..（12分）
故答案為：6x+2y-1=0．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及方程組的求解等有關問題，屬于中檔題．