Question

定義空間兩個向量的一種運算

a

⊕

b

=|

a

|-|

b

|sin＜

a

，

b

＞，則關于空間向量上述運算的以下結論中，
①

a

⊕

b

=

b

⊕

a

，
②λ（

a

⊕

b

）=（λ

a

）⊕

b

，
③（

a

⊕

b

）⊕

c

=（

a

⊕

c

）（

b

⊕

c

），
④若

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），則

a

⊕

b

=|x₁y₂-x₂y₁|；
恒成立的個數有（　　）

A．0個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①和②需要根據定義列出左邊和右邊的式子，再驗證兩邊是否恒成立；③由定義知這類：“

a

⊕

b

”運算的結果是實數，從而得到結論不成立；④根據數量積求出cos＜

a

，

b

＞，再由平方關系求出sin＜

a

，

b

＞的值，代入定義進行化簡驗證即可．

解答：解：①、∵

a

⊕

b

=|

a

|-|

b

|sin＜

a

，

b

＞，
∴

b

⊕

a

=|

b

|-|

a

|sin＜

b

，

a

＞，故

a

⊕

b

=

b

⊕

a

不會恒成立；
②、∵λ(

a

⊕

b

)=λ(|

a

|-|

b

|sin＜

a

，

b

＞)，且(λ

a

)⊕

b

=|λ||

a

|-|

b

|sin＜λ

a

，

b

＞，
∴λ(

a

⊕

b

)=(λ

a

)⊕

b

不會恒成立；
③、由定義知

a

⊕

b

、

a

⊕

c

、

b

⊕

c

結果是實數，而

c

是向量，故（

a

⊕

b

）⊕

c

≠（

a

⊕

c

）（

b

⊕

c

）；
④、∵cos＜

a

，

b

＞=

x1x2+y1y2

| a || b |

，∴sin＜

a

，

b

＞=

1-( x1x2+y1y2 | a || b | )2

，
∴

a

⊕

b

=|

a

|-|

b

|×

1-( x1x2+y1y2 | a || b | )2

=|

a

|-

| b |2-( x1x2+y1y2 | a | )2

=

x12+y12

-

x22+y22-( x1x2+y1y2 x12+y12 )2

≠|x₁y₂-x₂y₁|．不成立
綜上，恒成立的命題個數為零
故選A．

點評：本題考查了向量的數量積和向量的模的公式，利用給出的定義進行證明結論，計算量很大．