Question

函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個最高點的坐標為 (

π

12

，3)，與之相鄰的一個最低點的坐標為 (

7π

12

，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ） 當x∈[

π

2

，π]，求函數f（x）的單調遞增區間和零點．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個最高點的坐標為 (

π

12

，3)，與之相鄰的一個最低點的坐標為 (

7π

12

，-1)．我們可根據兩個最值點的縱坐標求出A，B的值，根據橫坐標求出周期T，進而得到ω及φ的值，從而求出求f（x）的表達式；
（Ⅱ）根據由（1）的結論，及正弦型函數單調區間的求法，及零點的定義，我們易得到結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意的

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，所以T=π，于是ω=

2π

T

=2（2分）
由

A+B=3 -A+B=-1

解得

A=2 B=1

（4分）
把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，可得sin(

π

6

+?)=1，所以

π

6

+?=2kπ+

π

2

，
所以?=2kπ+

π

3

，因為|?|＜

π

2

，所以?=

π

3

綜上所述，f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1（7分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得sin(2x+

π

3

)=-

1

2

，又∵x∈[

π

2

，π]
∴

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

∴2x+

π

3

=

11π

6

故x=

3π

4

函數f（x）的零點是x=

3π

4

（10分）
∵

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

∴由

3π

2

≤2x+

π

3

≤

7π

3

得

7π

12

≤x≤π∴函數f（x）的單調遞增區間是[

7π

12

 ， π]（13分）

點評：本題考查的知識點是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦型函數的性質及函數的零點，其中根據已知中的條件求出函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的解析式，是解答本題的關鍵．