Question

(本小題滿分12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA_l=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
(I)證明：D₁E上A_lD；
(Ⅱ)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離；
(Ⅲ)在(II)的條件下，求D₁E與平面AD₁C所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則
.……………4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201251998318.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，則，從而，，設(shè)平面的法向量為，則
即，得，從而，…7分所以點(diǎn)到平面的距離為
……9分
（Ⅲ）, .
與平面所成角的正弦值.……………12分

略