Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大小；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大小．

Answer 1

分析：以C為坐標原點，CB，CA，CC′分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，從而可證線線垂直，可求線線角，線面角，二面角，注意法向量的求解方法．

解答：解：（1）以C為坐標原點，CB，CA，CC′分別為x軸，y軸，z軸，則B（1，0，0），A/(0，1，2)，C/(0，0，2)，M(

1

2

，

1

2

，2)
∴

A/B

=(1，-1，-2)，

C/M

=(

1

2

，

1

2

，0)
∴

A/B

•

C/M

=0
∴A'B⊥C'M；
（2）∵

BA/

=(-1，1，2)，

CB/

=(1，0，2)
∴cos＜

BA/

，

CB/

＞ =

3

30

=

30

10

∴異面直線BA'與CB'所成角為arccos

30

10

；
（3）設BN與平面CNB'所成的角為α，平面CNB'的一個法向量為（x，y，z）
∵

CN

=(0，1，1)， 

CB/

=(1，0，2)
∴

y+z=0 x+2z=0

∴平面CNB'的一個法向量為（2，1，-1）
∵

NB

=(1，-1，-1)
∴sinα=

2

3 × 6

=

2

3

∴BN與平面CNB'所成的角為arcsin

2

3

；
（4）設平面NBC的一個法向量為（a，b，c ），二面角A-BN-C的大小為β
∵

CB

=(1，0，0)，

CN

=(0，1，1)
∴

a=0 b+c=0

∴平面NBC的一個法向量為（0，1，-1）
∵平面ABN的一個法向量為（

1

2

，

1

2

，0）
∴cosβ=

1

2

，∴β=60°
∴二面角A-BN-C的大小為60°

點評：本題的考點是與二面角有關的立體幾何綜合問題，主要考查線線垂直，線面角、二面角等，關鍵是建立空間直角坐標系，利用向量的方法求解．