Question

若點P、Q分別在函數y＝e^x和函數 y＝lnx的圖象上，則P、Q兩點間的距離的最小值是     ．

Answer 1

試題分析：考慮到兩曲線關于直線y=x對稱，求丨PQ丨的最小值可轉化為求P到直線y=x的最小距離，再利用導數的幾何意義，求曲線上斜率為1的切線方程，從而得此距離。解：∵曲線y=e^x與曲線y=lnx互為反函數，其圖象關于y=x對稱，故可先求點P到直線y=x的最近距離d，設曲線y=e^x上斜率為1的切線為y=x+b，∵y’=e^x，由e^x=1，得x=0，故切點坐標為（0，1），即b=1 ，∴丨PQ丨的最小值為2d=2
點評：本題主要考查了互為反函數的函數圖象的對稱性，以及導數的幾何意義，曲線的切線方程的求法，同時考查了化歸的思想方法，屬于中檔題