Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a_t=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）當實數t為何值時，數列{a_n}是等比數列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設b_n=log₃a_n+1，T_n是數列{

1

bn•bn+1

}的前n項和，求T₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（I）可通過題設中的條件進行轉化，變為可以利用等比數列的定義建立方程求參數t的形式，
（II）求解本題需先研究b_n的通項公式，由于

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

，故可以采取裂項求和的方式求T₂₀₁₁的值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）（1分）
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，（4分）
所以當n≥2時，{a_n}是等比數列，
要使n≥1時，{a_n}是等比數列，則只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，從而t=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=n，（9分）
∴

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

（10分）
T2011=

1

b1b2

+…+

1

b2011b2012

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2011

-

1

2012

)=

2011

2012

（12分）

點評：本題考點是等差數列的性質，考查利用等比數列的定義建立方程求參數的值以及根據數列的通項公式選擇數列求和的方法，本題求和選擇了裂項求和的技巧，做完本題要記得探究一下裂項求和這一技巧適用的范圍，你能根據本題總結出來這一規律嗎？