Question

當今的時代是計算機時代，我們知道計算機裝置有一數據輸入口A和一個運算結果的輸出口

B．某同學編入下列運算程序將數據輸入且滿足以下性質：(1)從A輸入1時，從B得到；(2)從A輸入整數n(n≥2)時，在B得到的結果f(n)是將前一結果f(n－1)先乘以奇數2n－3，再除以奇數2n＋1．試問：

(Ⅰ)從A輸入2，3，4時，從B分別得到什么數？

(Ⅱ)從A輸入1，2，3，……2002時，從B得到的各數之和是多少？并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由題設知f(1)＝，f(n)＝f(n－1) 　　∴n＝2時，f(2)＝·＝ 　　n＝3時，f(3)＝·＝ 　　n＝4時，f(4)＝·＝ 　　(Ⅱ)猜想f(n)＝　　以下用數學歸納法證明 　　(i)當n＝1時，左邊＝f(1)＝，右邊＝＝ 　　∴左邊＝右邊，n＝1時，命題正確 　　(ii)假設n＝k時，命題正確，即f(k)＝ 　　那么n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＝· 　�。� 　�。�＝右邊 　　∴n＝k＋1時，命題也正確 　　由(i)(ii)知，對n∈N命題正確，即f(n)＝ 　　∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2002)＝＋＋＋＋…＋ 　�。�[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)] 　　＝(1－)＝